📘 अध्याय 1: वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers)
जब प्राइम फैक्टराइजेशन में कॉमन फैक्टर नहीं मिलता...
⭐ टॉपिक 1: मौलिक गणितीय प्रमेय (Fundamental Theorem of Arithmetic)
हर प्राकृतिक संख्या (natural number) को केवल एक ही तरह से मौलिक गुणनखंडों (prime factors) के रूप में लिखा जा सकता है।
उदाहरण: 60 = 2 × 2 × 3 × 5
MCQ:
Q1. 36 का मौलिक गुणनखंड क्या होगा?
A. 2 × 2 × 3
B. 2 × 3 × 3
C. 2² × 3² ✅
D. 2 × 3
Q2. कौन सी संख्या का केवल एक ही प्रकार का prime factorization नहीं होता?
A. 100
B. 120
C. 50
D. कोई नहीं ✅
Q1. 36 का मौलिक गुणनखंड क्या होगा?
A. 2 × 2 × 3
B. 2 × 3 × 3
C. 2² × 3² ✅
D. 2 × 3
Q2. कौन सी संख्या का केवल एक ही प्रकार का prime factorization नहीं होता?
A. 100
B. 120
C. 50
D. कोई नहीं ✅
प्रश्न: 90 का मौलिक गुणनखंड कीजिए।
उत्तर: 90 = 2 × 3² × 5
उत्तर: 90 = 2 × 3² × 5
प्रैक्टिस सेट:
1. 84 का prime factorization कीजिए।
2. 72 को मौलिक गुणनखंड में लिखिए।
1. 84 का prime factorization कीजिए।
2. 72 को मौलिक गुणनखंड में लिखिए।
🔢 टॉपिक 2: LCM और HCF (Prime Factorization द्वारा)
LCM का अर्थ है – "सबसे छोटा गुणज (Least Common Multiple)"
HCF का अर्थ है – "सबसे बड़ा समापवर्तक (Highest Common Factor)"
इसे prime factors के द्वारा आसानी से निकाला जा सकता है।
MCQ:
Q1. 12 और 18 का HCF क्या होगा?
A. 3
B. 6 ✅
C. 12
D. 2
Q2. 18 और 24 का LCM क्या होगा?
A. 72 ✅
B. 36
C. 48
D. 60
Q1. 12 और 18 का HCF क्या होगा?
A. 3
B. 6 ✅
C. 12
D. 2
Q2. 18 और 24 का LCM क्या होगा?
A. 72 ✅
B. 36
C. 48
D. 60
प्रश्न: 45 और 60 का HCF व LCM निकालिए।
उत्तर:
45 = 3² × 5
60 = 2² × 3 × 5
HCF = 3 × 5 = 15
LCM = 2² × 3² × 5 = 180
उत्तर:
45 = 3² × 5
60 = 2² × 3 × 5
HCF = 3 × 5 = 15
LCM = 2² × 3² × 5 = 180
प्रैक्टिस सेट:
1. 36 और 60 का HCF और LCM निकालिए।
2. 32 और 48 का HCF ज्ञात कीजिए।
1. 36 और 60 का HCF और LCM निकालिए।
2. 32 और 48 का HCF ज्ञात कीजिए।
जब LCM & HCF सही आ जाए बिना कैलकुलेटर!
🔍 टॉपिक 3: अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers)
वे संख्याएँ जिन्हें हम भिन्न (fraction) के रूप में नहीं लिख सकते और जिनकी दशमलव संख्या अनंत और बिना दोहराव वाली होती है, वे अपरिमेय (irrational) कहलाती हैं।
उदाहरण: √2, √3, π
MCQ:
Q1. π (पाई) किस प्रकार की संख्या है?
A. परिमेय
B. अपरिमेय ✅
C. पूर्णांक
D. प्राकृतिक
Q1. π (पाई) किस प्रकार की संख्या है?
A. परिमेय
B. अपरिमेय ✅
C. पूर्णांक
D. प्राकृतिक
प्रश्न: सिद्ध कीजिए कि √2 एक अपरिमेय संख्या है।
उत्तर: यदि मान लें √2 एक परिमेय संख्या है, तो उसे p/q रूप में लिखा जा सकता है। लेकिन इससे विरोधाभास उत्पन्न होता है, अतः √2 एक अपरिमेय संख्या है।
उत्तर: यदि मान लें √2 एक परिमेय संख्या है, तो उसे p/q रूप में लिखा जा सकता है। लेकिन इससे विरोधाभास उत्पन्न होता है, अतः √2 एक अपरिमेय संख्या है।
प्रैक्टिस सेट:
1. सिद्ध कीजिए कि √5 अपरिमेय संख्या है।
2. π की दशमलव संख्या का प्रकार बताइए।
1. सिद्ध कीजिए कि √5 अपरिमेय संख्या है।
2. π की दशमलव संख्या का प्रकार बताइए।
❓ FAQs (अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न)
Q. Prime factorization क्या होता है?
Ans: किसी संख्या को केवल prime numbers के गुणनफल के रूप में लिखना ही prime factorization कहलाता है।
Ans: किसी संख्या को केवल prime numbers के गुणनफल के रूप में लिखना ही prime factorization कहलाता है।
Q. Real numbers कितने प्रकार के होते हैं?
Ans: 2 प्रकार के – परिमेय (rational) और अपरिमेय (irrational)।
Ans: 2 प्रकार के – परिमेय (rational) और अपरिमेय (irrational)।
Q. क्या √4 एक irrational संख्या है?
Ans: नहीं, √4 = 2, जो एक परिमेय संख्या है।
Ans: नहीं, √4 = 2, जो एक परिमेय संख्या है।
